市教育科学“十三五”规划课题

新课标下概率统计教学的实践与研究

课题主持人：徐咪咪

本课题在各位专家的关心指导下，在学校领导的关心支持下，在课题组成员的共同努力下，经过三年多的研究与实践，已顺利完成各项研究任务，并取得了良好的研究效果。现将课题组自课题批准立项以来对该课题的研究作结题报告。

一、课题的提出

随着社会的不断进步，科技技术的迅猛发展，人们在生产实践、科学研究和社会生活中，经常需要一些信息进行数字化处理，这使得数学的研究与应用领域得到了极大的拓展。统计的研究对象是数据，核心是数据分析。数据分析是根据实际问题的需求收集数据和描述数据，并从数据中获得有用信息，形成知识，解决问题。大部分数据具有随机性，而概率又是研究随机现象规律的学科，为人们全面认识客观世界提供思维模式和解决问题的方法，为统计的发展提供理论基础。

 概率与统计的知识已经成为一个公民未来必备的常识。为了更好地适应社会，高中生要了解一些基本的概率与统计的生活常识。新课标将概率与统计，和函数、几何与代数、数学建模与数学探究活动作为课程结构的四条主线，贯穿必修课程、选择性必修课程和选修课程。由此可见概率与统计在高中教学中的地位。我们需要深入学习相关内容，特别是课堂教学方面，这是国内教学相对比较缺乏的。在了解了学生的学习基础、学习能力的基础上，结合新课标下概率统计的教学要求，通过课堂实践，以期能形成合乎学生发展，符合新课程改革理念教学模型。

二、课题的核心概念的界定

1．课程标准

课程标准是规定某一学科的课程性质、课程目标、内容目标、实施建议的教学指导性文件。与教学大纲相比，在课程的基本理念、课程目标、课程实施建议等几部分阐述的详细、明确，特别是提出了面向全体学生的学习基本要求。

2．概率统计

概率统计是研究自然界中随机现象统计规律的数学方法，又称数理统计方法。概率的研究对象是随机现象，为人们从不确定的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法。统计的研究对象是数据，核心是数据分析。概率为统计的发展提供理论基础。

3．概率统计的学科教学论

  学科教学论是研究如何使有关课程与教学的一般理论跟学科教学实际情况相结合，来指导学科教学实践，并且在学科教学实践基础上研究有关的一般理论。作为一种“不确定性数学”内容，统计和概率与传统的“确定性数学”内容有较大区别。概率统计教学并不是教学生按照公式计算或者画图表，而是要让学生学会用数据来分析，解决遇到的问题。

三、国内外同一研究领域现状简述

1．国外的研究现状

美国、日本和西欧国家从义务阶段就非常重视学生概率统计知识的学习。在20世纪80年代的美国数学教师协会制定的《美国学校数学课程与评价标准》，其中明确规定，从幼儿园开始，每学年都有统计与概率的内容，有计划、有步骤地渗透随机的思想和方法。经过多年的实践研究，美国推出了正式的新课程标准《学校数学的原则与标准》。概率统计在日本高中数学课程中体现的也很明显。日本的高中数学课程分为必修内容和选修内容，其中必修内容包括数学I、数学Ⅱ、数学I、数学基础，选修内容包括数学A、数学B、数学C。1998年11月，文部省颁布了新的学习指导要领，拉开了新一轮课程改革的序幕。

大多数早期的概率统计教育研究都是关于概率的。但在过去的几十年里，全世界关于统计教育的研究以近乎指数的速度在增长。2007创刊的《统计教育的技术创新》已被公认为是全球统计研究的主导刊物。对统计探究的重视，尤其是对非形式化的统计推断的聚焦，在探索数据的情形下提供了把统计和概念结合起来学习的机会。伴随着整合的概率与统计观点，

需要采用整体化的教学法的呼声更高。在具体的课堂教学方面，国外较多地注意到学生“如何学”。国外学者研究概率统计比较注重从应用心理学、教育学理论的成果进在学习活动中思维发生发展的过程。通过组织数学建模、数学实践活动，用实例演示概念，让学生真正体会到概念的内涵。

2．国内的研究现状

20世纪初概率统计知识在中国才刚刚起步，直到90年代，仅有上海将概率知识规定为高考必考内容。2001年教育部颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将概率统计作为义务教育阶段学生必学必考的主要内容之一。2003年《普通高中课程标准（实验稿）》颁布，将概率统计内容列入高中数学必修课程。

随着新的课程标准的出台，对新旧教材、国内外课程的对比成为一个重要研究方向。李杰民、廖运章在对人教A版高中数学新旧教材“概率”进行比较研究中指出，新教材明晰了概率论的研究对象与研究方法，降低了起始教学的难度。 郭明、史宁中从课程内容、设计理念、教学目标及呈现方式四个维度对中英两国高中数学课程进行了比较研究。王萱靖、庞国萍、彭刚则是聚焦中美高中数学课程标准中的“概率与统计”，发现学习目标侧重点不同，课程内容广度和深度也不同。

概率与统计问题依托丰富的实际背景，将数学与日常生活和生产实际紧密联系在一起，体现了较高的数学应用价值。它们是高考数学必考的知识内容，考查学生数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算和数学抽象等素养。龙正武、陈星春对2016和2018年高考中概率统计内容的相关试题进行分析，指出近三年概率统计试题考查面全，综合性强，着重考查学生的数据处理能力和数学应用意识。殷木森则是深入分析2019年和2020年高考数学全国卷中出现的与体育比赛规则有关概率试题，提出高考命题逐渐凸显出了“落实立德树人，倡导‘五育’并举的特点”，对学生备考提出了自己的研究心得和体会。

概率统计内容的教学能否与新课程改革的目标和意图息息相关，不仅取决于教师的教也取决于学生的学。张留芳、张玉环在《高中概率与统计教学现状的调查研究》中对中学生应该重点学习哪些内容，教师与学生在教与学的过程中存在的问题进行了问卷调查。陈建花等在《初高中概率与统计的教学衔接研究》一文中对初高中概率统计的教学衔接做了相关的研究；王剑凌在《概率统计课程如何与新课标下高中数学有效地衔接》一文从教材的衔接、教学方法的衔接和学习方法的衔接三个方面，探讨了如何让概率统计课程与新课标下高中数学有效地衔接。

三、课题研究的过程

1．课题申报、论证阶段（2019.1-2019.8）

完成课题的申请报告书报专家组审查批准后，立项，开始课题论证实施。

2．课题研究准备阶段（2019.8-2019.11）

建立课题组，共同讨论研究方案，明确研究思路，完成课题设计。

组织学习相关理论，召开课题组成员会议，明确课题研究的目的和意义，统一思想，提高认识，明确分工，责任到人。

3．课题研究实施阶段（2019.11-2022.4）

（1）定期开展课题研究工作，收集文献资料，学习教育教学理论。结合教育教学理论分析整理文献资料，构建理论模型。

（2）在相关年级采用问卷及访谈的形式调查学生数学学科的学习习惯、学习方法、学习能力等方面的具体情况，分析存在问题、形成原因。

（3）尝试改变课堂教学模式，培养学生的随机性思维，引导学生用概率的思想思考问题、解决问题，提高学生的应用能力。

4．课题结题阶段（2022．4-2022．6）

收集、整理相关资料，撰写课题报告；经验成果在教学实践中推广应用；课题主持人写好结题报告，作好结题的评估、验收、鉴定准备工作。

四、研究的方法

本课题的研究过程中，在普通高中数学新课程标准下，理论联系实践，采取了比较研究法、调查研究法、文献研究法等相结合的研究方法。

1．比较研究法

通过对近两次新旧数学课程标准进行全面的对此，从而发现异同，以此来指导课堂教学。

2．调查研究法

抽取学校部分教师为研究对象，了解概率统计教学中的一些困难和存在的问题；同时选取部分学生为研究对象，调查学生的学习兴趣和学习习惯、学习能力的水平和差异，并在研究中对学生作连续的追踪调查。

3．文献研究法

  查阅教育教学理论，阅读相关文献，了解现阶段国内外研究现状，研究存在的问题和主要矛盾，构建引导学生主动学习、养成良好的学习能力的策略体系和行动方案。

五、课题研究主要内容

1、新旧课标、教材的学习心得

（1）教学内容变化《普通高中数学课程标准（2017年版）》对概率与统计的教学内容进行了较大调整。

在必修部分主题四中有如下变化：

①概率中增加了随机事件的独立性；

②统计中删去了系统抽样和变量的相关性，将“变量的相关性”移到了选修中“统计”这一章内；

③统计中新增了用样本估计“百分位数”这一内容；

在选修部分主题三中有如下变化：

①概率中的超几何分布由原来的“理解”变为“了解”，降低了要求；

②增加了全概率公式，提高了要求；

③统计中相关系数提高了要求，增加了样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系内容；

④将必修中的变量的相关性移到此处，但删去了统计案例。

（2）概率统计呈现顺序的一致性

新课标2017版标准对必修课程和选择性必修课程的概率与统计内容都作了明确规定。但在课程内容的呈现顺序没有提出要求。新旧教材在这一方面总体是一致的。概率是统计的理论基础，而统计是概率的应用。在系统的概率与统计课程中，一般先学习概率的有关知识，再学习统计的内容。但结合高中学生的思维特点，往往是从感性认识再到理性认识。必修课程在内容的呈现上选择先统计后概率，让学生先通过丰富的来源于实际生活的具体案例，充分体会数据的随机性。在充分认识和理解随机现象特点的基础上，开展对随机现象规律性的研究。而在选择性必修部分，学生此时已有一定的理论基础。虽然高中的概率内容没有包括足以刻画统计推断结果所需的统计知识。但是在这部分内容，统计中的学习会用到概率中的一些概念。所以从知识的衔接角度，教科书先安排概率再安排统计非常合理。

（3）信息技术与课程的深度融合

“加强信息技术与数学教学融合的实践与研究”是全面深化数学课改的关键之一。新的课程标准中提到：鼓励尽可能地运用计算器、计算机进行模拟活动，数据，更好地体会统计思想。信息技术既是现代统计的组成部分，也是统计学习有效的辅助手段。合理有效地使用信息技术，能把学生从机械、烦琐的数据处理中解放出来，提高数据的精确度和可靠度。在高中统计的教学过程中，教师可以尝试使用多种教学软件。例如：TI图形计算器、Excel、R语言等。在概率的教学，信息技术也发挥了不可替代的作用。比如用频率估计概率时，需要做大量的重复试验。利用计算机等信息技术工具模拟某些随机试验，可以达到快速地进行大量重复试验的目的，直观上帮助学生体会随机性现象背后的概率思想。此外，借助信息技术，能为学生提供有挑战性的、互动交流的数学学习环境，增强课堂互动性，让学生亲身参与到试验中。

2．初高中概率与统计的差异与联系

概率统计是学生初中就接触的内容，但是由于初中生和高中生存在固有的认知差异，初高中统计与概率在课程目标、内容、教学方式等方面也都存在差异，因此我们就初高中概率与统计的区别与联系进行研究，可以更好地促进其教学的衔接。

（1）课程目标的区别与联系

初中概率与统计的教学目标是“体验数据收集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本总体的过程；进一步认识随机现象，能计算一些简单事件的概率”。而高中概率与统计的教学目标是“学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学习随机取样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集和处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异。”据此可知，高中统计与概率的目标是建立在初中学生对其有基本的认识基础之上的。初中重体验，高中重理论分析和实践应用。虽然目标上存在一定的差异，但初高中的概率有着同一的思想体系和方法，存在着一定的相似点。

（2）课程内容的区别与联系

初中概率与统计的主要内容是：简单随机事件的概率、频率与概率的关系，简单随机抽样、制作扇形的统计图以及平均数、众数、中位数等的求法。高中概率包括古典概型、随机事件的条件概率、理想型随机变量及其分布列、正态分布等。统计则是简单的随机抽样、分层抽样、系统抽样以及方差、标准差、变量的相关性等较为复杂的内容。整体来看，初高中统计与概率的内容有一定的联系，高中内容以初中内容为基础，但是差异很明显，高中统计与概率的内容较初中统计与概率内容更加丰富、复杂，理论更强。

（3）教学方式的区别与联系

在学生开始学习高中概率与统计知识之前，有必要准确的认识当前初高中概率与统计教学的差异与联系，认真分析初高中概率与统计教学的内容、目标，选择恰当的教学方法等，从而采取针对性的教学手段和教学模式。

相较于初中，高中概率与统计由于理论深处的提高、教学要求的提高等问题，其学习难度明显增大。教师在进行讲解时，有必要根据学生实际情况，对初中的一些基础知识进行回顾之后再逐步深入对高中的理论知识进行讲解。在教学初期，适当采取实验教学的方法，通过实验教学逐步引导学生从初中概率与统计的认识到高中概率与统计的认识进行转变。随着教学的不断深入，学生理论知识的不断丰富，以及学生抽象思维的不断成熟，逐步向以理论教学为主的模式过渡，在激发学生学习兴趣的同时避免学生的认知错乱。

3．高考概率统计试题研究

概率与统计问题依托丰富的实际背景，将数学与日常生活和生产实际紧密联系在一起，体现了较高的数学应用价值。它们既是高考数学必考的知识内容，也是培养和提升学生数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算和数学抽象等素养的有效载体。

历年高考中概率与统计试题以基础题、中档题为主，考查的重点是古典概型、样本估计总体、随机变量的概率分布等主干知识。2020年高考，山东省、海南省分别首次使用教育部考试中心命制的不分文、理科的新高考全国Ⅰ卷和新高考全国Ⅱ卷；北京市、上海市、天津市、浙江省、江苏省仍为自主命题，且都不分文、理科，共5套数学试卷；其余各地区均使用教育部考试中心命制的全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷和全国Ⅲ卷的文、理科数学试题，共3套6份试卷。在课题研究过程中，我们对近三年来全国卷中概率统计试题进行了汇总、分析，并对其变化与趋势进行了研究，现整理如下。

（一）、近三年全国卷中概率统计试题的分析

随着《普通高中数学课程标准（2017年版）》的全面实施以及与其配套的新教材在全国推广使用，高考试题的内容与形式都发生了一边变化。以下是最近三年全国卷中概率统计试题一览表。

表1  2021年全国卷中概率统计试题一览表

表2  2020年全国卷中概率统计试题一览表

表3  2019年全国卷中概率统计试题一览表

实行新的课程标准后，数学高考加强了概率统计内容的考查，对于数学应用能力的考查多是以概率统计素材为依托，体现了考查的综合性，使试题富有时代气息，展现了大数据时代的特色近三年全国卷概率统计试题的题目背景更加贴近实际，更能体现数学工具解决实际问题的作用。

近三年全国卷概率统计试题的得分率不高，其主要原因是试题紧密联系实际，大多是以考生陌生的情境呈现，并且运算量比较大。通过调查分析，我们发现最重要的原因是学生读不懂试题，不能理解题意，所以没有解题的基础。数学阅读能力是解决问题的关键，因此提高数学阅读能力对提高考生的抽象概括素养、数学建模素养至关重要。

4．课堂教学模式的探究

课堂教学是形成、发展学生核心素养的主要渠道。为了能将新课标的理念落地生根，课堂教学的方式、方法也需要得到更新。在了解了学生的学习基础、能力之后，结合概率与统计这块内容的独特性，我们对课堂教学模式进行了一些探索。

（1）主题单元式

单元主题教学是根据课程实施的水平目标，确立若干个教学主题，教师遵循学生学习的一般规律，以主题为线索，开发和重组相关的教学内容，进行连续课时单元教学的教学方式。开展单元主题教学体现学习领域水平目标达成的针对性、知识技能教学的连贯性、生活化等特性。要求教师要从整体引领学生认识数学，帮助学生构建宏观的、整体的知识框架，厘清各知识点之间的内在联系。防止学生只见“树木”，不见“森林”。

大量的偶然当中存在着某种必然的规律。概率的研究对象是随机现象。人教版必修二第十章《概率》共有三节内容。虽然对象、内容、方法不同，但概率的研究途径，可类比函数的研究。因此可以对这个章的教学顺序进行适当调整。

第一节《随机事件与概率》分成了4个课时，从结构上看显得有点松散。随机事件，学生在初中已经有了初步认识。虽然概念得到了重构，引入了“样本点”、“样本空间”这些概念。但集合语言对高中学生而言一点也不陌生。学生进入高中学习的第一章就是集合，通过类比可以顺利实现知识的顺应和同化。因此可以将第一小节《有限样本空间与随机事件》和第三小节《古典概型》进行整合，分成两个课时，加深学生对随机事件的理解和认识。古典概型是高中最简单的模型，也是高中课程中重点研究的模型。放在前面的位置，主要是为后续研究概率的基本性质、事件独立性等提供实例支撑。在《古典概型》本节课的设计上，可以从初中教材中的生活实际问题出发，唤醒学生对古典概率的直观认识。通过问题串的设计，引导学生把对问题的表述，经历从文字语言到数字语言，最后到符号语言的一个过程，将对古典概率的认识逐步提升到理性高度。特别是在核心概念的建构环节，以日常生活中对随机现象发生可能性的定性陈述为基础，结合所有样本点的等可能性特点，给出古典概型定义。运用确定性数学的知识和方法研究随机现象。既符合高中学生的认知特点，也遵循了学生的认知发展规律。

概率的定义、性质、计算等都是基于古典概型。本章第一节的第二小节《事件的关系和运算》可以和第四小节《概率的基本性质》、第二节《事件的相互独立性》进行整合。类比集合的关系和运算理解事件的关系和运算，由特殊到一般归纳概率的基本性质。第三节《频率与概率》是本章最后一节。只有在概率已知的情况下才能讨论频率与概率的关系。本节课主要通过大量重复试验了解频率与概率的关系，让学生学会用频率去估计概率。

（2）实践体验式

实践体验式教学是通过创设情境，使学生在亲身经历和充分参与中，获得个人的感悟和经验，建构知识、提升认识、发展能力的教学模式。

统计是研究如何合理收集、整理、分析数据以及由数据分析作出决策的科学。数据分析的过程体现了统计解决问题的基本思路。数据分析的过程存在多种不同的划分方法。其中图2是新课标2017年版的划分方法。 

作为一种“不确定性数学”的内容，不同于传统的代数、几何等，没有绝对的对或错。统计教学需要结合各种具体案例去进行。对于同一组数据，从不同的角度去分析，会得到不同的判断。要明确在不同背景和需求下，使用不同的方法选择、统计、分析数据，结合实际建立合适的数学模型，实现思想方法的融会贯通。为了让学生能真正掌握具体的数据分析方法，在学习《统计案例》这节课时切忌照本宣科，“闭门造车”。可以在课前，布置给学生学习任务。让学生通过预习本节内容，进一步学习如何进行调查统计，利用前面所学的统计知识分析数据，最后整理成报告。同学间可以自由组合，组成5到6人的学习小组。从课本上每节课后练习中，选取相关的话题，比如电视节目收视率，近视情况分析调查、春季联欢晚会收视率，每天课外学习时间等等，也可以寻找自己感兴趣的当下热门话题。利用课余完成一份完整的统计分析报告。在此过程中也可以寻求其他老师的帮助和指导。一周之后，每一个小组选取代表，在课堂上进行陈述。其他组的同学可以提出自己的疑问，请该组成员回答。教师对每组的报告进行点评，给出改进意见。“纸上得来终觉浅，觉知此事要躬行。”只有让学生亲身经历抽取数据、从数据中提取信息、应用数据推断结论等全过程，才会更好地学会数据处理的方法，体会到统计学的魅力。

六、课题研究取得的成果

本课题主要研究成果主要为：

（1）课题相关论文

本课题发表的论文，以课堂为落脚点，探索如何下新课标的视角下进行概率统计的教学，所发论文与课题密切相关。其中省级主流期刊1篇，省级获奖1篇。

（2）开设的相关的示范课

其中大市级公开课2节，市区级公开课2节，校际公开课1节，面向大市的线上公开课3节。

（3）围绕课题制作微视频

基于平时的课堂实践，课题组选取了概率与统计主题中几个典型的课例，进行了精心的教学设计，并录制成微视频。

七、反思与设想

1． 本研究组由于教师个人学习渠道有限，对新课标的研读还不是很深入。特别是在新课标课程的认识、理解上，虽然有一定的心得和体会，但还是处于较低水平。

2．本研究组成员主要来自三星级学校，开展的一系列活动也主要都在本校。研究面稍窄。由于课时所限，课堂实践活动还比较缺乏。

由于现实世界中随机现象的普遍性和人们对概率统计方法认识的深入，概率与统计已深入到科学、技术、工程和现代社会生活各个方面。尤其当人类进入到大数据时代和“互联网+”时代，概率与统计的重要性变得越来越突出。虽然课题将告一段落，但我们学习的脚步不会停止。我们将会继续探索和实践概率统计的教与学。