基于数学学科核心素养的椭圆解题策略研究

孙雨

摘要：

《普通高中数学课程标准(2017 年版)》要求落实学生的数学核心素养为实现数学核心素养的落地提供了良好的指向性意义。本文以圆锥曲线中椭圆一节为例，对在高中数学教材和高考中的解题策略进行分析，通过文献法、问卷调查法、测试卷法考察学生学习椭圆的知识模块的解题策略掌握情况，旨在通过解题策略的研究进而提升学生数学核心素养。根据椭圆的教学提出解题策略，例如：模式识别策略、数形结合策略、有效增设策略、元认知策略等，总结解题过程所需要的数学思想方法进行全局性的指导，并通过数学思想方法在问题情境中的运用来分析学生数学核心素养的形成和发展情况。之后通过访谈法了解教师对深度学习的认识和椭圆教学经验及建议，从中发现问题指导椭圆学习的教学。

基于数学核心素养视角，对椭圆解题策略提出教学建议：首先在知识定位和问题表征阶段中积极引导学生，在此过程中注意因材施教，有针对性地指导学生运用解题策略，循序渐进渗透解题策略心理模式，发展数学核心素养并强调解题策略的意义，帮助学生建构解题策略体系，最终教师能够引导学生自觉进行反思凝练，显化数学思想方法。将上述教学建议和教学策略融入到具体椭圆课堂教学中，进行椭圆教学设计，培养学生的核心素养。通过类比椭圆教学实践的一般过程和教学策略，可以为其他数学知识提供教学参考。

关键词: 椭圆；数学核心素养；解题策略；教学建议

一、引言

1.1研究背景及意义

在《普通高中数学课程标准(2017 年版)》指出：学生在学习平面解析几何的过程中，教师应让学生自主探索，体会知识的发生与发展。首先，通过具体实例使学生了解圆锥曲线产生的背景；其次，引导学生建立合理的坐标系，通过直观感知和代数运算得到标准方程，并且得到合理的几何解释，而最终达到解决问题的目的[1]。课标同时建议教师通过信息技术向学生展示曲线的运动过程，通过让学生带着问题自主探索解析几何知识的发生发展过程，以及在探索新知过程中培养科学、严谨的态度，树立良好的学习习惯。在教学过程中通过具体图形培养直观想象能力，通过整体条件培养逻辑推理能力，通过具体实例抽象到概念、图形上来培养学生的数学抽象素养，通过已有认知经验解决实际问题的过程培养数学运算能力，通过整个单元的复习和迁移培养学生的数学建模能力。

圆锥曲线在高考中占有较大比重，因此无论是教师的“教”还是学生的“学”，都应该重视与椭圆相关的解题策略，解题策略的研究是实践上升为理论，又是理论指导实践的重要课题[2]。解题策略是高中数学重要教学内容之一，它不仅是培养学生分析问题、解决问题的重要基地，更是发展学生数学核心素养的有效形式。

综上，圆锥曲线的重点是培养学生的数形结合思想，其中椭圆在高考中占有很高的地位。椭圆解答题不仅考察椭圆相关概念和性质，直线方程、三角函数、向量和最值等问题亦是高考椭圆中常考的题型。椭圆的学习不仅可以培养学生数形结合、等价转换、函数与方程、分类讨论等数学思想[3]，也能加深学生对代数与几何之间的联系的理解。椭圆相关内容是较为抽象的，学生在头脑中须有一定的知识储备和思想方法，新课讲授时教师需要对抽象部分适时引导。通过之前曲线方程思想的学习，学生很容易将旧知迁移到新知识中来，在通过动手实践和小组讨论，经历思维的深加工，同时还能获得学生的满足感，让学生对知识上有更深层次的理解，在教学过程中落实学科素养实现深度学习。相对于其他零散章节来说，椭圆内容的学习能为后续曲线的学习打下坚实的基础，更利于学生在知识上的构建，思维更加的深化，使学习更有意义。要使学生更好的掌握并灵活运用所学知识培养数学核心素养，椭圆的深度学习可以更好的体现出来。

1.2研究方法

本次研究主要采用文献资料法、问卷调查法和访谈法法。通过三种方法共同考察学生椭圆学习现状，指导后续教学设计以及解题策略的研究。

(一)文献资料法

通过上网查阅有关文献资料，总结前人对椭圆解题策略方面的调查研究成果，归纳学生的学习现状和学习障碍，为接下来的论文撰写奠定基础

(二)问卷调查法

设计调查问卷和测试卷（见附录）：通过收集整理学生在测试题中的圆锥曲线解题策略的运用情况，借助 SPSS 软件对统计数据进行分析。

(三)访谈法

通过与一线教师沟通椭圆深度学习的教学建议和习惯，为本次研究提供了当前教学现状，为椭圆解题策略的研究提供切入点。

二、椭圆内容的解题策略研究

基于样本学生在高二阶段学习，初步接触椭圆，数学学科知识的综合性较低、延伸性还较弱，基础知识、基本技能的掌握还为牢固，解题思维在教师的帮助和学生的努力下还有很大提升空间，数学核心素养在数学课堂中，在教师教与学生学的双边活动中有着很好的体现，因此本研究的样本选取了本校高二学生，本次研究样本的选取能初步地研究高中生椭圆的解题策略运用情况，以启发之后圆锥曲线的学习。

通过调查发现，学生在面对问题情境时出现不知如何运用已有的知识解决当前问题的现象，或者在发现当前所要解决的问题与做过的题相似，但稍有不同时，却不知如何下手。对于“等价转化思想”学习困难,椭圆这一部分是数与形并存的完美结合体，要求学生对数形结合思想能灵活运用。在解决有关问题时，要求学生能根据文字描述画出相应图形，使问题更加直观，但很多学生看待数学问题总是带有程序化思维，使得他们不喜欢画出相应的几何图形或图形表达不准确，抽象概括能力较弱。学生在利用椭圆知识解决问题时，需要利用等价转化思想将复杂问题转化成较为简单的问题方便处理，但是实际解决问题的过程中，很多学生都缺乏转化思想，无法将椭圆知识和实际问题结合起来，在解题时找不到突破口，解决问题的过程非常繁琐。[4]从当前来看，研究学者对有关的解题策略已经展开了一定程度的探讨，也给予了一些建设性的教学建议。本次借助学者的研究结果，继续深入分析研究。

从知识的获得角度来看，首先通过直观的方式来感知椭圆，要求了解知识的形成过程，关注知识的发展。故先对椭圆基本内容进行梳理。

其次，对进入图式的知识材料进行特征与意义的整合，形成理性的模式，才能为之后分析解决椭圆问题打下基础，使学生能更好地掌握知识，圆锥曲线定义、性质、几何图形之间的逻辑关系才能联系得更加紧密。要求掌握知识结构，以便通过技能策略达到解决问题的水平。

最后，对于椭圆基本题型梳理：椭圆定义以及定义的延伸、几何性质、椭圆的焦三角形面积公式，直线与椭圆所成的弦长问题、椭圆的弦的中点问题、椭圆的共轭直径。高考对椭圆的知识点考察要求，要以椭圆解题策略为工具，以数学思想方法为精神支撑来达到社会对培养人才的要求。

因此要真正的掌握椭圆的知识，理解教材显然是不够的，椭圆问题情境涉及的解题策略一般包括模式识别策略、数形结合策略、动静转换策略、有效增设策略以及元认知策略，数学思想方法以其对数学本质的能动反映概括出解题策略的属性，反映出模式识别策略中的思维正迁移，数形结合策略中的双向信息相辅相成，动静转换策略中的守恒数量关系，有效增设策略中的增加参与分析的数学元素，元认知策略中的自我意识、自我监控、自我调节。[6]这些解题策略掌握和运用依靠着数学思想方法在个体心理机制下的统筹计划，而数学核心素养在个体心理活动中和教育实践活动中的体现也通过数学思想方法反映出来。

多数老师建议应该教会学生在解题时将题目熟悉化、简单化、具体化，从而缩短解题时间，提高解题效率。条件图形化，条件坐标化，结论代数化，条件、结论融合化，使椭圆问题情境清晰化，是高中生在椭圆解题中追求的目标之一。但在椭圆学习的课堂中，很多教师为了高效利用课堂，某些知识讲解的并不细致，直接导致了一些学生在课堂上出现了跟不住老师的情况。比如在《椭圆的标准方程》中，很多教师并没有给出椭圆标准方程的推导过程，而是直接给出结论，这就使得学业成就低的学生出现理解困难。再比如《椭圆的定义》这节课中，最好的方式是让学生动手实践，感受椭圆轨迹的生成过程，而很多教师并不给同学演示的机会，只是按照课本生硬的进行讲解，学生没有体会到概念的生成过程，导致椭圆定义中的一些限制条件被忽视。

三、结论与建议

本文研究的在于以数学学科核心素养为视角，深入挖掘椭圆教学与解题策略间的核心联系，以期建构学习教学逻辑要素和策略作为椭圆教学设计的理论支撑和方法论指导。通过系统研究椭圆知识的本体特征，培养学生的数学核心素养基础上实现知识的深度学习，从了解学生对椭圆产生障碍的原因出发，提出有针对性的对策，培养学生核心素养前提下加深学生数学思维发展。

从测试卷的结果来看，高中生在圆锥曲线的问题中，解题策略的运用质量最优为模式识别策略，其次为元认知策略，其他策略都偏弱。而根据学生对解题策略的选择和使用情况进行分析，大部分学生采取函数与方程思想、分类讨论思想来指导解题，数形结合思想次之，而转化思想的在解题策略中的反映和体现情况较差。由此可见，学生对椭圆问题的探索以及知识的拓展不够深，在解题时，学生思考问题的方式太过单一，多采用参考例题来进行解答，解题思路较窄，不能将问题演变成多种形式、多种状态，思维偏向正向思维，而逆向思维不足。继而反映出直观想象素养和逻辑推理素养相较于数学抽象素养和数学运算素养在解题过程中没有很好地体现出来。

因此，椭圆的教学需要要充分展开对本质属性的提炼、分析、归纳，不仅要依托于具体的解题策略的运用，还需要数学思想方法的支撑指导。解题策略既能体现数学思想方法，又是数学思想方法提炼的重要基地。教师应引导学生在解题策略运用的基础上进行数学思想方法的领会和积累，把握数学思想方法的内涵本质，围绕数学核心素养进行分析和解决问题。作为数学教育关键因素的数学核心素养，则需要师生的共同努力，努力创设有利于提升学生数学核心素养的环境，努力发展数学语言交流能力。基于数学核心素养视角，对椭圆解题策略提出以下5个教学建议：

（1）在知识定位和问题表征阶段积极引导学生；（2）因材施教，有针对性地指导学生运用解题策略；（3）强调解题策略的意义，帮助学生建构解题策略体系；（4）引导学生自觉进行反思凝练，显化数学思想方法；（5）循序渐进渗透解题策略心理模式，发展数学核心素养。

本研究由于参与测试的学生数量不多且选取的学生大多成绩处于中等水平，代表性不足，应在水平较好和较差的学生中也进行相关测试，因而本研究的调查样本存在局限性。同时本研究是数学核心素养视角下对椭圆解题策略的研究，学生数学核心素养的形成和发展与师生之间的互动分不开，学生之间探讨合作也有影响。因此，在今后的研究中，如果能增加对优秀教师教学课堂活动的记录和分析，以此为材料进行解题策略的交互式研究，能丰富了研究的层次性。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[M].北京:人民教育出版社，2018.1.

[2] 廖文勇. 高中学生数学解题思维策略培养[J]. 数学学习与研究,2014(09):100.

[3] 黄兴. 高二数学有效学习[M].北京:中国轻工业出版社,2004.08.

[4] 韦兴洲.高中数学解析几何高考试题分析与教学策略研究.广西师范大学，2014.

[5] 陆旌霞. 高二学生解析几何学习障碍及对策研究.南京师范大学，2017.

[6] 高然. 高中生圆锥曲线解题思维策略上差异的研究[D].吉林：东北师范大学,2008.